事前登録済み法則 / Pre-registered Law
特異級数質量はシフト素数 ℤ³ 格子のパーコレーション到達を予言する
本多 啓詞 (Keiji Honda)
TL;DR (要約)
整数シフト $c$ を1つ変えるだけで、半径 177 の素数モートは半径 6.9 のモートにも、半径 400 の箱を突き破るモートにもなる。そしてその到達の長さや生死の順序は、歩行シミュレーションを一度も走らせる前に、数論（算術）だけから完璧に計算できる。
1. ゲームの定義と背景
この問いの2次元の祖先は、ガウス素数の上を有界な歩幅で無限遠まで歩けるかという「ガウス素数モート問題」である。本研究では、3次元格子 $\mathbb{Z}^3$ 上に舞台を移し、通行規則に整数シフト $c$ を導入した。格子 $[-R, R]^3$ において、点 $v = (x, y, z)$ は $v$ のノルムの二乗にシフト $c$ を加えた値、すなわち $\|v\|^2 + c = x^2 + y^2 + z^2 + c$ が素数のときのみ通行可能となる。
原点付近のスタート地点から出発し、18近傍（面＋辺接続）で到達できる最大半径（モート半径 $rmax^*$）を測定する。驚くべきことに、シフト $c$ をわずかに変えるだけで、その到達距離は劇的に変化する。例えば $c=19$ ではわずか $6.9$ で原点付近に封じ込められるのに対し、$c=17$ では半径 $400$ の箱の境界に到達し突破（打ち切り/censored）してしまう。定数1つの違いで、到達距離に57倍以上の開きが生じるのである。
2. 予言則：特異級数質量
この現象の背後には、算術的な構造が存在する。通行可能な格子点の「質量」（窓領域内の通行可能格子点数）は、ハードディ・リトルウッドの特異級数に基づく予測器 $\widehat{mass}(c)$ から高精度に計算できる。BFS（幅優先探索）によるシミュレーションを一切行うことなく、この算術的な指標だけで、一度もスキャンしていないシフトの到達順序を極めて正確に予言できる（Spearman 順位相関係数 $\rho = 0.9656, p = 1.8 \times 10^{-13}$）。
特に、$\mathbb{Z}^3$ 格子における生死（モートがすぐに死ぬか、無限へ伸びるか）は、モジュロ3の因子 $\kappa_3$ によって分離される：
- $c \equiv 1 \pmod 3$ （$\kappa_3 = 5/6$）：最短到達（原点封じ込め）
- $c \equiv 0 \pmod 3$ （$\kappa_3 = 1$）：中間（有限の素数モートで死ぬ）
- $c \equiv 2 \pmod 3$ （$\kappa_3 = 7/6$）：最長到達（境界突破、無限へ）
3. 定量則とメカニズム
さらに、事前に凍結したパラメータによる対数線形則 $\ln V = a + b \cdot mass$ が、より大きな境界 $R=400$ での到達距離をも数値的に予言することを確認した。このパーコレーションを支配している物理的メカニズムは、値レベルでの「殻相関」である。動径密度プロファイルを保ちつつ殻相関をランダムに破壊した帰無モデル（iid サイト帰無）では、素数で到達した $177.0$ に対して、わずか $67.0 \pm 4.7$ までしか到達できない。長距離の到達は、素数値が複数の格子点を同時に通行可能にするという、格子点の幾何学的相関に宿っている。
共同研究におけるAIの役割について
本プロジェクトは、人間とAI（Claude）の共同作業によって実行されました。人間の著者が問いを立てて指揮を執り、AIがコード構築、シミュレーション走査、事前登録、統計解析、および論文原稿の執筆を担当しました。「1mmの嘘もなし」の精神に基づき、すべてのシミュレーション結果や統計数値は公開されているコードとデータから100%再現可能です。
4. [新事実] 有効閾値の正体：数論と格子物理の「恒等式」
最新の研究（v19およびv20）により、長年の謎であった「実効的な死亡閾値 $p_c^{eff} \approx 0.100$」の正体が数学的に解明されました。本格子における奇数台のすべての構成（素数を含む）は、市松模様の1つのクラス上に住んでおり、これは幾何学的に面心立方格子（FCC格子）そのものです。
これにより、死亡閾値は調整パラメータを一切含まない数理物理の定数に完全に同定されました：
$$p_c^{eff} = p_c^{site}(fcc)/2 = 0.1992365(10)/2 = 0.0996182 \quad [Lorenz–Ziff \ 1998]$$
事前に登録された予測値（$0.1002 \pm 0.0050$）はこの定数と 0.1σ という極めて高い精度で一致し、130個の未接触構成を用いた大規模な族横断検証試験において見事に確認されました（H1・H2ともにPASS）。
図4. (a) 凍結した対数線形則の上に並ぶ4つの帰無モデル族の検証データ。(b) 各構成の有効閾値の分布と、数理物理定数の半分である $0.0996182$ の完全な一致。
Pre-registered Law
Singular-series mass predicts percolation reach in prime-shifted ℤ³ lattices
Keiji Honda
TL;DR
A single integer shift $c$ determines whether the prime-percolation walk is trapped within a tiny sphere of radius 6.9, dies at radius 177, or breaks through a massive box of radius 400. Crucially, the ordering and scale of these fates can be predicted purely from arithmetic, before running a single step of simulation.
1. Game Definition & Background
The two-dimensional ancestor of this problem is the Gaussian prime moat problem—whether it is possible to walk to infinity on Gaussian primes with bounded step sizes. In this study, we extend the walk to the three-dimensional simple cubic lattice $\mathbb{Z}^3$ and introduce an integer shift $c$. On the lattice $[-R, R]^3$, a point $v = (x, y, z)$ is passable if and only if $\|v\|^2 + c = x^2 + y^2 + z^2 + c$ is prime.
Starting near the origin and walking with 18-neighborhood steps (face and edge connections), the maximum reach (moat radius $rmax^*$) varies dramatically based on $c$. For example, $c=19$ is trapped at $6.9$, whereas $c=17$ easily breaks through the $R=400$ boundary. A single integer shift causes a more than 57-fold difference in reach.
2. Predictor: Singular-Series Mass
This phenomenon is driven by a deep arithmetic structure. The "mass" (the number of passable points in a shell window) can be predicted with high precision using an arithmetic predictor $\widehat{mass}(c)$ derived from the Hardy-Littlewood singular series. Without performing any BFS simulation, this pure arithmetic predictor predicts the reach ordering of unseen shifts with extreme accuracy (Spearman's rank correlation $\rho = 0.9656, p = 1.8 \times 10^{-13}$).
Specifically, the fate of the percolation walk (trapped, dying, or breaking through) is separated by the modulo 3 factor $\kappa_3$:
- $c \equiv 1 \pmod 3$ ($\kappa_3 = 5/6$): Trapped near the origin
- $c \equiv 0 \pmod 3$ ($\kappa_3 = 1$): Intermediate (dies at finite prime moats)
- $c \equiv 2 \pmod 3$ ($\kappa_3 = 7/6$): Longest reach (breaking through)
3. Quantitative Law & Mechanism
A pre-registered, frozen two-parameter log-linear law $\ln V = a + b \cdot mass$ numerically predicts the reach of censored configurations at $R=400$. The physical mechanism driving this percolation boost is "shell correlation." An iid site null model that preserves the radial density profile but destroys the shell correlations only reaches $67.0 \pm 4.7$, compared to $177.0$ for the actual prime lattice. The long-range percolation is hosted by the correlation where a single prime value simultaneously opens multiple lattice points.
4. [New Finding] The True Identity of $p_c^{eff}$: The FCC Constant
In the latest study (v19 and v20), the long-standing mystery of the effective threshold $p_c^{eff} \approx 0.100$ has been arithmetically resolved. All odd-value configurations (including primes) walk on a bipartite subgrid of $\mathbb{Z}^3$, which is isomorphic to the face-centered cubic (FCC) lattice.
Thus, the percolation threshold is mathematically identified with zero free parameters:
$$p_c^{eff} = p_c^{site}(fcc)/2 = 0.1992365(10)/2 = 0.0996182 \quad [Lorenz–Ziff \ 1998]$$
The pre-registered value ($0.1002 \pm 0.0050$) matches this exact constant within 0.1σ. This quantitative law has been successfully validated through a massive cross-family pre-registered trial of 130 unseen configurations (passing both H1 and H2).
Figure 4. (a) The 4 null-model families aligned on the frozen log-linear reach law. (b) The distribution of effective thresholds matching the exact mathematical constant of $0.0996182$.